Алгоритм Зива-Лемпеля

Большинство алгоритмов сжатия базируется на последовательной схеме сжатия Лемпеля-Зива (Lempel-Ziv, 1977). Этот алгоритм используется, в частности, стандартной процедурой UNIX Compress. Методики со статистическим моделированием могут обеспечить лучшее сжатие, но они заметно медленнее. Но существует алгоритм, который совмещает в себе лучшие из черт названных выше. Этот алгоритм не предусматривает последовательной обработки входных данных, а обрабатывает текст по-блочно. Здесь используется обратимое преобразование блока данных к виду, который позволяет эффективно сжать данные с помощью простых алгоритмов. Преобразование имеет целью сгруппировать символы так, чтобы вероятность появления последовательностей идентичных символов значительно возросла. Такой текст может быть легко сжат посредством локально-адаптивных алгоритмов в сочетании с кодировкой Хафмана и арифметической кодировкой.

Последовательность S, содержащая N символов ({S(0),+ S(N-1)}), подвергается N циклическим сдвигам (вращениям), лексикографической сортировке, а последний символ при каждом вращении извлекается. Из этих символов формируется строка L, где i-ый символ является последним символом i-го вращения. Кроме строки L создается индекс I исходной строки S в упорядоченном списке вращений. Существует эффективный алгоритм восстановления исходной последовательности символов S на основе строки L и индекса I. Процедура сортировки объединяет результаты вращений с идентичными начальными символами. Предполагается, что символы в S соответствуют алфавиту, содержащему K символов.

Для пояснения работы алгоритма возьмем последовательность S= aca=6), алфавит X = {
1. Формируем матрицу из N*N элементов, чьи строки представляют собой результаты циклического сдвига (вращений) исходной последовательности S, отсортированных лексикографически. По крайней мере одна из строк M содержит исходную последовательность S. Пусть I является индексом строки S. В приведенном примере индекс I=1, а матрица M имеет вид:

2. Пусть строка L представляет собой последнюю колонку матрицы M с символами L[0],…,L[N-1] (соответствуют M[0,N-1],…,M[N-1,N-1]). Формируем строку последних символов вращений. Окончательный результат характеризуется (L,I). В данном примере L=aab =1.
Процедура декомпрессии использует L и I. Целью этой процедуры является получение исходной последовательности из N символов (S).
1. Сначала вычисляем первую колонку матрицы M (F). Это делается путем сортировки символов строки L. Каждая колонка исходной матрицы M представляет собой перестановки исходной последовательности S. Таким образом, первая колонка F и L являются перестановками S. Так как строки в M упорядочены, размещение символов в F также упорядочено. F=bcrP>
2. Рассматриваем ряды матрицы M, которые начинаются с заданного символа ch. Строки матрицы М упорядочены лексикографически, поэтому строки, начинающиеся с ch упорядочены аналогичным образом. Определим матрицу Mкоторая получается из строк матрицы M путем циклического сдвига на один символ вправо. Для каждого i=0,…, N-1 и каждого j=0,…,N-1,
Mj] = m[i,(j-1) mod N]

В рассмотренном примере M и Mмеют вид:

Подобно M каждая строка Mвляется вращением S, и для каждой строки M существует соответствующая строка Mолучена из M так, что строки Mпорядочены лексикографически, начиная со второго символа. Таким образом, если мы рассмотрим только те строки Mкоторые начинаются с заданного символа ch, они должны следовать упорядоченным образом с учетом второго символа. Следовательно, для любого заданного символа ch, строки M, которые начинаются с ch, появляются в том же порядке что и в Mначинающиеся с ch. В нашем примере это видно на примере строк, начинающихся с Строки racaca abrмеют номера 0, 1 и 2 в M и 1, 3, 4 в MP>

Используя F и L, первые колонки M и Mы вычислим вектор Т, который указывает на соответствие между строками двух матриц, с учетом того, что для каждого j = 0,…,N-1 строки j Mоответствуют строкам T[j] M.
Если L[j] является к-ым появлением ch в L, тогда T[j]=1, где F[i] является к-ым появлением ch в F. Заметьте, что Т представляет соответствие один в один между элементами F и элементами L, а F[T[j]] = L[j]. В нашем примере T равно: (4 0 5 1 2 3).
3. Теперь для каждого i = 0,…, N-1 символы L[i] и F[i] являются соответственно последними и первыми символами строки i матрицы M. Так как каждая строка является вращением S, символ L[i] является циклическим предшественником символа F[i] в S. Из Т мы имеем F[T[j]] = L[j]. Подставляя i =T[j], мы получаем символ L[T(j)], который циклически предшествует символу L[j] в S.
Индекс I указывает на строку М, где записана строка S. Таким образом, последний символ S равен L[I]. Мы используем вектор T для получения предшественников каждого символа: для каждого i = 0,…,N-1 S[N-1-i] = L[Ti[I]], где T0[x] =x, а Ti+1[x] = T[Ti[x]. Эта процедура позволяет восстановить первоначальную последовательность символов S (aca
Последовательность Ti[I] для i =0,…,N-1 не обязательно является перестановкой чисел 0,…,N-1. Если исходная последовательность S является формой Zp для некоторой подстановки Z и для некоторого p>1, тогда последовательность Ti[I] для i = 0,…,N-1 будет также формой ZSUP для некоторой субпоследовательности Z Таким образом, если S = can = p=2, последовательность Ti[I] для i = 0,…,N-1 будет [2,4,0,2,4,0].

Описанный выше алгоритм упорядочивает вращения исходной последовательности символов S и формирует строку L, состоящую из последних символов вращений. Для того, чтобы понять, почему такое упорядочение приводит к более эффективному сжатию, рассмотрим воздействие на отдельную букву в обычном слове английского текста.

Возьмем в качестве примера букву слове предположим, что исходная последовательность содержит много таких слов. Когда список вращений упорядочен, все вращения, начинающиеся с будут взаимно упорядочены. Один отрезок строки L будет содержать непропорционально большое число перемешанных с другими символами, которые могут предшествовать такими как пробел, P>
Аналогичные аргументы могут быть использованы для всех символов всех слов, таким образом, любая область строки L будет содержать большое число некоторых символов. В результате вероятность того, что символ стретится в данной точке L, весьма велика, если ch встречается вблизи этой точки L, и мала в противоположном случае. Это свойство способствует эффективной работе локально адаптивных алгоритмов сжатия, где кодируется относительное положение идентичных символов. В случае применения к строке L, такой кодировщик будет выдавать малые числа, которые могут способствовать эффективной работе последующего кодирования, например, посредством алгоритма Хафмана.